Math173

已知拋物线 $E: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，过定点 $(2,0)$ 的直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，$A F$ 与 $E$ 的 另一个交点为 $C$，$B F$ 与 $E$ 的另一个交点为 $D$，则 $|A C|+2|B D|$ 的最小值为_______．

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已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2+a x-a x \ln x$．

1、记 $g(x)=f^{\prime}(x)$，讨论函数 $g(x)$ 的单调性．

2、若正实数 $\lambda, \mu$ 满足 $\lambda+\mu=1$，实数 $a<0$，求证：\[\forall x_1, x_2 \in(0,+\infty), ~f\left(\lambda x_1+\mu x_2\right) \leqslant \lambda f\left(x_1\right)+\mu f\left(x_2\right).\]

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己知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 定义域均为 $\mathbb{R}$，且 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，记 $g(x)=f^{\prime}(x)$，若 $f(3 x-2)+f(4-3 x)=f(3)$，$g(x)+g(4-x)=4$，则（       ）

A．$f(-1)=0 $

B．$f(f(1))>f(0)$

C．$g(f(-1))<g(f(1))$

D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} g(k)=4046$

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在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B_1P}=x\overrightarrow{B_1A}+y\overrightarrow{B_1C}+z\overrightarrow{B_1D_1}$，且 $x+y+z=1$，若二面角 $B_1-P D_1-C$ 的大小为 $\dfrac{\pi}{3}$，$ O$ 为 $\triangle A C D_1$ 的中心，则 $\sin \angle P D_1 O=$（       ）

A．$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

B．$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$

C．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

D．$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

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已知函数 $f(x)=\cos x+\dfrac{t}{x}$，$x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$．

1、若方程 $f(x)=0$ 在 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 有解，证明：$t \in\left(-\dfrac{2}{3}, 0\right)$．

2、若函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1, x_2$，证明：$\dfrac{\pi}{2}<x_1+x_2<\dfrac{2 \pi}{3}$．

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在等腰梯形 $A B C D$ 中，$A D\parallel BC$，$A B=A D=C D=\dfrac{1}{2} B C$，$A C$ 交 $B D$ 于 $O$ 点，$\triangle A B D$ 沿着直线 $B D$ 翻折成 $\triangle A_1 B D$，所成二面角 $A_1-B D-C$ 的大小为 $\theta$，则下列选项中正确的是（       ）

A．$\angle A_1 B C \leqslant \theta$

B．$\angle A_1 O C \geqslant \theta$

C．$\angle A_1 D C \leqslant \theta$

D．$\angle A_1 B C+\angle A_1 D C \geqslant \theta$

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$2008$ 年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔 $\cdot$ 弗兰泡沬，威尔 $\cdot$ 弗兰泡沬是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面开尔文胞体体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有 $24$ 个顶点，且棱长为 $ 1 $，则该多面体的表面积为_______．

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数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $ 4$，则下列结论正确的是（       ）

A．若 $P, Q$ 是勒洛四面体 $A B C D$ 表面上的任意两点，则 $P Q$ 的最大值是 $ 4$

B．勒洛四面体 $A B C D$ 被平面 $A B C$ 截得的截面面积是 $8(\pi-\sqrt{3})$

C．勒洛四面体 $A B C D$ 的体积是 $8 \sqrt{6} \pi$

D．勒洛四面体 $A B C D$ 内切球的半径是 $4-\sqrt{6}$

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在 $ {\rm Rt}\triangle A B C$ 中，$B=\dfrac{\pi}{2}$，$A C=2 B C=4$，$D$ 为线段 $A C$ 的中点，如图，将 $\triangle A B D$ 沿 $B D$ 翻折，得到三棱锥 $P-B C D$（点 $P$ 为点 $A$ 翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是（       ）

A．$\triangle P B D$ 的外接圆半径为 $2$

B．存在某一位置，使得 $P D \perp B D$

C．存在某一位置，使得 $P B \perp C D$

D．若 $P D \perp D C$，则此时三棱锥 $P-B C D$ 的外接球的体积为 $\dfrac{32}{3} \pi$

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如图，在棱长为 $1$ 的长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$P$ 为侧面 $BCC_1B$（不含边界）内的动点，$Q$ 为线段 $A_1C$ 上的动点，若直线 $A_1P$ 与 $A_1B_1$ 的夹角为 $45^\circ$，则下列说法正确的是（       ）

A．线段 $A_1P$ 的长度为 $\sqrt 2$

B．$\dfrac{\sqrt 3}3A_1Q+PQ$ 的最小值为 $1$

C．对任意点 $P$ 总存在点 $Q$，使得 $D_1Q\perp CP$

D．存在点 $P$，使得直线 $A_1P$ 与平面 $ADD_1A_1$ 所成的角为 $60^\circ$

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