已知直线 $l$ 过点 $A(2,3,1)$，向量 $\boldsymbol n=(1,0,-1)$ 所在直线与 $l$ 垂直，则点 $P(4,3,2)$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为_______．
设 $m=\dfrac 1{1\cdot 2}+\dfrac2{1\cdot 2\cdot 3}+\dfrac 3{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots+\dfrac 9{1\cdot 2\cdots 9\cdot 10}$，则 $m$ 的小数表示中小数点后连续的数字 $9$ 的个数为（ ）
A．$4$
B．$5$
C．$6$
D．以上答案都不对
设整数 $n \geqslant 4$，集合 $X = \left\{ {1,2,3, \cdots ,n} \right\}$．令集合\[S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in X,~\text{且三条件}~x < y < z,y < z < x,z < x < y~\text{恰有一个成立} \right\},\]若 $\left( {x,y,z} \right)$ 和 $\left( {z,w,x} \right)$ 都在 $S$ 中，则下列选项正确的是（ ）
A．$\left( {y,z,w} \right) \in S$，$\left( {x,y,w} \right) \notin S$
B．$\left( {y,z,w} \right) \in S$，$\left( {x,y,w} \right) \in S$
C．$\left( {y,z,w} \right) \notin S$，$\left( {x,y,w} \right) \in S$
D．$\left( {y,z,w} \right) \notin S$，$\left( {x,y,w} \right) \notin S$
1、证明：当 $x \in \left[0,1\right] $ 时，$\dfrac{\sqrt 2 }{2}x \leqslant \sin x \leqslant x$．
2、若不等式 $ax + {x^2} + \dfrac{x^3}{2} + 2\left(x + 2\right)\cos x \leqslant 4$ 对 $x \in \left[0,1\right] $ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f\left( x \right) = \left( {1 + x} \right){{\mathrm{e}}^{ - 2x}}$，$g\left( x \right) = ax + \dfrac{x^3}{2} + 1 + 2x\cos x$，
1、当 $x \in \left[ {0,1} \right]$ 时， 求证：$1 - x \leqslant f\left( x \right) \leqslant \dfrac{1}{1 + x}$．
2、若 $f\left( x \right) \geqslant g\left( x \right)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
如图，抛物线 ${C_1}:{x^2} = 4y$，${C_2}:{x^2} = - 2py$（$ {p > 0} $）．点 $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ 在抛物线 ${C_2}$ 上，过 $ M $ 作 $ {C_1} $ 的切线，切点为 $ A,B $（$ M $ 为原点 $ O $ 时，$ A,B $ 重合于 $ O $）．当 $ {x_0} = 1 - \sqrt 2 $ 时，切线 $ MA $ 的斜率为 $ - \dfrac{1}{2}$．
1、求 $ p$ 的值．
2、当 $ M $ 在 $ {C_2} $ 上运动时，求线段 $ AB $ 中点 $ N $ 的轨迹方程（$ A,B $ 重合于 $ O $ 时，中点为 $ O $）．
为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 $ 5 $ 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为 $ 7 $，样本方差为 $ 4 $，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_______．
设双曲线 $C$ 的中心为点 $O$，若有且只有一对相交于点 $O$，所成的角为 $60^\circ $ 的直线 ${A_1}{B_1}$ 和 ${A_2}{B_2}$，使 $ \left|{A_1}{B_1} \right| = \left|{A_2}{B_2} \right|$，其中 ${A_1},{B_1}$ 和 ${A_2},{B_2}$ 分别是这对直线与双曲线 $C$ 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．$\left( {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},2} \right]$
B．$\left[ {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},2} \right)$
C．$\left( {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},+ \infty } \right)$
D．$\left[ {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},+ \infty } \right)$
对正整数 $n$，记 ${I_n} = \left\{ {1,2, \cdots ,n} \right\} $，${P_n} = \left\{\dfrac{m}{\sqrt k }\mid m \in {I_n},k \in {I_n} \right\}$．
1、求集合 ${P_7}$ 中元素的个数．
2、若 ${P_n}$ 的子集 $A$ 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 $A$ 为"稀疏集"．求 $n$ 的最大值，使 ${P_n}$ 能分成两个不相交的稀疏集的并．
如图，椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，过左焦点 ${F_1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A,A'$ 两点，$\left| {AA'} \right| = 4$．
1、求该椭圆的标准方程．
2、取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P,P'$，过 $P,P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $PQ \perp P'Q$，求圆 $Q$ 的标准方程．
