Math173

设 $m>0$．若对于满足 $a b c \leqslant \dfrac{1}{4}$ 且 $\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}<m$ 的任意一组正数 $a,b,c$，均存在以 $a,b,c$ 为三边长的三角形，求实数 $m$ 的最大值，说明理由．

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已知曲线 $C$ 的方程为 $\left(x^{2}+y\right)(x+y)=0$，直线 $l: y=k x+b$ 与曲线 $C$ 交于三个不同的点 $A,B,C$．

1、若 $b=\dfrac{1}{16}$，求 $k$ 的取值范围．

2、若 $b=1$，且 $|A B|=|B C|$，求 $k$ 的值．

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已知四个整数 $a,b,c,d$ 都是偶数，且 $0<a<b<c<d$，$ d-a=90$，若 $a,b,c$ 成等差数列，$b,c,d$ 成等比数列，则 $a+b+c+d=$ _______．

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某食品厂制作了 $4$ 种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了 $4$ 种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买该种食品 $6 $ 袋，那么小明获奖的概率是_______．

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已知函数 $f(x)=x^{3}-a x^{2}+\left(a^{2}-2\right) x+1$，若存在 $m>0$，使得 $f(m) \leqslant 0$，则实数 $a$ 的最大值为_______．

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已知椭圆 $C: ~\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{2}$．

1、求椭圆 $C$ 的标准方程．

2、我们称圆心在椭圆 $C$ 上运动，半径为 $\dfrac{a}{2}$ 的圆是椭圆 $C$ 的“卫星圆”，过原点 $O$ 作椭圆 $C$ 的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若直线 $O A, O B$ 的斜率存在，记为 $k_{1}, k_{2}$．

① 求证：$k_{1} k_{2}$ 为定值；

② 试问 $|O A|^{2}+|O B|^{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期 $T_1$ 和 $ T_2$．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在 $T_1$ 时期内生孩 $X$ 人，在 $T_2$ 时期生孩 $Y$ 人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．$X$ 服从 $ 0-1$ 分布且 $P(X=0)=\dfrac{1}{5} $．$ Y$ 分布列如下图： \[\begin{array}{c|c|c|c} \hline Y & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & p & p+q & p-q \\ \hline \end{array}\] 现已知一个家庭在 $T_1$ 时期没生孩子，则在 $T_2$ 时期生 $ 2 $ 个孩子概率为 $\dfrac{1}{24}$；若在 $T_1$ 时期生了 $ 1$ 个女孩，则在 $T_2$ 时期生 $2 $ 个孩子概率为 $\dfrac{1}{6}$；若在 $T_1$ 时期生了 $1 $ 个男孩，则在 $T_2$ 时期生 $2 $ 个孩子概率为 $\dfrac{1}{12}$，样本点中 $T_1$ 时期生孩人数与 $T_2$ 时期生孩人数之比为 $2: 5$（针对普遍家庭）．

1、求 $Y$ 的期望与方差．

2、由数据 $z_{i}$（$i=1,2, \cdots, n$）组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为 $a: b$，分别为 $x_{i}$（$i=1,2, \cdots, k$）与 $y_{i}$（$i=1,2, \cdots, m$，$k+m=n$，总体样本点与两个分层样本点均值分别为 $\overline{z}, \overline{x}, \overline{y}$，方差分别为 $S_{0}^{2}, S_{1}^{2}, S_{2}^{2}$，证明：\[S_{0}^{2}=\frac{a}{a+b}\left(S_{1}^{2}+(\overline{x}-\overline{z})^{2}\right)+\frac{b}{a+b}\left(S_{2}^{2}+(\overline{y}-\overline{z})^{2}\right),\]并利用该公式估算题设样本总体的方差．

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将一些小于 $10$ 的正整数填入如下 $4 \times 4$ 的方格中，使得每行和每列中的数的乘积都等于 $ 10$，共有_______种不同的填法．

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如图，圆锥 $V A B$ 内有一个内切球 $O$，球 $O$ 与母线 $V A, V B$ 分别切于点 $C, D$．若 $\triangle V A B$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$O_{1}$ 为圆锥底面圆的中心，$M N$ 为圆 $O_{1}$ 的一条直径 $(M N$ 与 $A B$ 不重合），则下列说法正确的是（       ）

A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为 $2: 3$

B．平面 $C M N$ 截得圆锥侧面的交线形状为抛物线

C．四面体 $C D M N$ 的体积的取值范围是 $\left(0, \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$

D．若 $P$ 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 $|PM|+|PN|$ 最大值为 $2 \sqrt{2}$

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设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$．记命题 $p$：“数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列”，命题 $q$：“$S_{n},S_{2 n}-S_{n}, S_{3 n}-S_{2 n}$ 成等比数列”，则 $p$ 是 $q$ 的（       ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

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