练习题[16] 创新能力培养基础练习

 1、已知函数$f(x)=\begin{cases}\ln x,&x\geqslant 1,\\\dfrac{1}{\mathrm e}(x+2)(x-a),&x<1\end{cases}$的图象（其中$a$为常数，$\rm e$为自然对数的底数）在$A({\rm e},1)$处的切线与该函数的图象恰好有三个交点，则实数$a$的取值范围是_______．

2、已知函数$f(x)=x^2+{\rm e}^x-\dfrac 12$，$x<0$与$g(x)=x^2+\ln{(x+a)}$的图象存在关于$y$轴对称的两点，则$a$的取值范围是_______．

3、某马拉松运动员用了$2.2$h跑完比赛的$42.195$km全程（到终点停止），则对giant运动员在整个赛程中用$19$km/h速度跑的时刻个数判断一定正确的是（       ）

A．至多1个

B．至少2个

C．至多3个

D．无数个

4、在平面直角坐标系$xOy$中，已知向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$满足：$\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=1$，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0$，点$Q$满足$\overrightarrow{OQ}=\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)$，曲线$C:\left\{P\left|\overrightarrow{OP}=\overrightarrow a\cos\theta+\overrightarrow b\sin\theta,0\leqslant\theta <2\pi\right.\right\}$，区域$\Omega=\left\{P\left|0<r\leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right|\leqslant R,r<R\right.\right\}$．若$C\cap\Omega$为两段分离的曲线，则（       ）

A．$1<r<R<3$

B．$1<r<3\leqslant R$

C．$r\leqslant 1<R<3$

D．$1<r<3<R$

5、已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$M$为线段$D_1B_1$上的点，点$N$为线段$AC$上的点，记$MN$与平面$ABB_1A_1$所成角为$\theta$，那么当$MN$与线段$DB_1$相交时，$\tan\theta$的最大值是_______．

6、已知$F_1$、$F_2$分别为椭圆$C_1:\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1$（$a>b>0$）的上下焦点，$F_1$是抛物线$C_2:x^2=4y$的焦点，点$M$是$C_1$与$C_2$在第二象限的交点，且$MF_1=\dfrac{5}{3}$．

（1）试求椭圆$C_1$的方程；

（2）与圆$x^2+(y+1)^2=1$相切的直线$l:y=k(x+t)$）交椭圆于$A$、$B$两点，若椭圆上一点$P$满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\lambda\overrightarrow{OP}$，求实数$\lambda$的取值范围．

7、若集合$A$具有以下性质：

① $o\in A$，$1\in A$；

② 若$x,y\in A$，则$x-y\in A$；

③ 若$x\neq 0$，$x\in A$，则$\dfrac 1x\in A$．

则称集合$A$为“好集”．

（1）若集合$A$为“好集”，求证：若$x,y\in A$，则$x+y\in A$；

（2）若集合$A$为“好集”，求证：若$x,y\in A$，则$xy\in A$．

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参考答案

1、$\left(-\infty,-3-2\sqrt 2\right)\cup\left(2\sqrt 2-3,\dfrac 23\right)$．

2、$\left(-\infty,{\rm e}^{\frac 12}\right)$．

3、B      提示：注意利用$v-t$图象的连续性．

4、A      提示：注意利用数形结合解决，这是2014年安徽卷理科数学试题．

5、$1$      提示：注意当$M\neq B_1$时，$N$只可能为底面$ABCD$的中心；当$M=B_1$时，$N$可以取遍$AC$．

6、（1）$C_1:\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}4=1$；（2）$-2\leqslant\lambda\leqslant 2\land \lambda\neq\pm\dfrac{2}{\sqrt 3}$．

7、提示：（1）的证明路径为$x\to -x\to y-(-x)$；（2）的证明路径为$x\to\dfrac 1x\to \dfrac 2x\to\dfrac x2$，$x\to x,x-1\to \dfrac 1x,\dfrac 1{x-1}\to \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}\to x^2-x\to x^2$，$x,y\to \dfrac{(x+y)^2-x^2-y^2}{2}$．