每日一题[206] 掷骰子游戏

本题改编自2014年全国高中数学联赛福建省预赛第7题：

游戏规则如下：如果某次随机地投掷出手中的骰子后有$2$颗骰子的点数之和为$7$，则获胜．现在手中恰好有$2$颗骰子，但有两种奖励（bonus）可以领取，请问选择哪种奖励获胜的几率大？

奖励A，额外的$2$次投掷机会；

奖励B，额外的$1$颗骰子．

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正确答案是选择奖励A．

选择奖励A

一次掷$2$颗骰子，那么获胜的概率为$\dfrac{6}{36}=\dfrac 16$．于是，那么掷三次骰子获胜的概率为

$$1-\left(\dfrac 56\right)^3=\dfrac{91}{216}\approx 0.4213.$$

选择奖励B

点数之和为$7$有三种可能：$1+6$，$2+5$，$3+4$．设掷出的三个骰子点数分别为$1,6,x$，那么若$x\in\{1,6\}$，则有$6$种可能；若$x\notin\{1,6\}$，则有${\rm C}_4^1{\rm A}_3^3=24$种．类似可得其他两种情况的可能数，因此获胜的概率为

$$\dfrac{3\times (6+24)}{6^3}=\dfrac 5{12}\approx 0.4167.$$

综上，选择奖励A获胜的几率大．

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更加有趣的问题是，如果可以选择两次奖励（相同的奖励可以叠加）后再进行投掷，那么应该如何选择呢？

此时有三种策略：选择两次奖励A；选择两次奖励B；以及选择一次奖励A，一次奖励B．

选择两次奖励A

如前所述，获胜概率为

$$1-\left(\dfrac 56\right)^5=\dfrac{4651}{7776}\approx 0.5981.$$

选择两次奖励B

按和为$7$分为一对和两对计算．

一对的情形以$1+6$为例，有

① $1116$、$1166$、$1666$型，共$14$种；

② $116x$或$166x$型，共$96$种；

③ $16xx$型，共$48$种；

④ $16xy$型，共$96$种；

因此该情形共$3(14+96+48+96)=762$种；

两对的情形共$3{\rm A}_4^4=72$种；

因此获胜的概率为

$$\dfrac{762+72}{6^4}=\dfrac{139}{216}\approx 0.6435.$$

选择一次奖励A、一次奖励B

此时获胜的概率为

$$1-\left(\dfrac {7}{12}\right)^3=\dfrac{1385}{1728}\approx 0.8015.$$

因此，选择一次奖励A，一次奖励B获胜的概率最大．

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注    OuyangLan给出了选择两次奖励B后获胜概率的基于几何模型的算法，简便而直观．

考虑问题的反面，用$1-6$六种不同的颜色给正四面体的$4$个顶点分别染色，其中不存在任何一条棱的两个端点颜色之和为$7$．很明显，$4$个顶点总共的颜色数为$1$、$2$或$3$．

① $1$种颜色，有$6$种选色方案，$1$种染色方案；

② $2$种颜色，有$12$种选色方案，有$20$种染色方案；

③ $3$种颜色，有$2$种选色方案，有$72$种染色方案．

因此不能获胜的概率为

$$\dfrac{6+240+144}{6^4}=\dfrac{77}{216},$$ 从而可以获胜的概率为$\dfrac{139}{216}$．