本题改编自2014年全国高中数学联赛福建省预赛第7题:
游戏规则如下:如果某次随机地投掷出手中的骰子后有\(2\)颗骰子的点数之和为\(7\),则获胜.现在手中恰好有\(2\)颗骰子,但有两种奖励(bonus)可以领取,请问选择哪种奖励获胜的几率大?
奖励A,额外的\(2\)次投掷机会;
奖励B,额外的\(1\)颗骰子.
正确答案是选择奖励A.
选择奖励A
一次掷\(2\)颗骰子,那么获胜的概率为\(\dfrac{6}{36}=\dfrac 16\).于是,那么掷三次骰子获胜的概率为\[1-\left(\dfrac 56\right)^3=\dfrac{91}{216}\approx 0.4213.\]
选择奖励B
点数之和为\(7\)有三种可能:\(1+6\),\(2+5\),\(3+4\).设掷出的三个骰子点数分别为\(1,6,x\),那么若\(x\in\{1,6\}\),则有\(6\)种可能;若\(x\notin\{1,6\}\),则有\({\rm C}_4^1{\rm A}_3^3=24\)种.类似可得其他两种情况的可能数,因此获胜的概率为\[\dfrac{3\times (6+24)}{6^3}=\dfrac 5{12}\approx 0.4167.\]
综上,选择奖励A获胜的几率大.
更加有趣的问题是,如果可以选择两次奖励(相同的奖励可以叠加)后再进行投掷,那么应该如何选择呢?
此时有三种策略:选择两次奖励A;选择两次奖励B;以及选择一次奖励A,一次奖励B.
选择两次奖励A
如前所述,获胜概率为\[1-\left(\dfrac 56\right)^5=\dfrac{4651}{7776}\approx 0.5981.\]
选择两次奖励B
按和为\(7\)分为一对和两对计算.
一对的情形以\(1+6\)为例,有
① \(1116\)、\(1166\)、\(1666\)型,共\(14\)种;
② \(116x\)或\(166x\)型,共\(96\)种;
③ \(16xx\)型,共\(48\)种;
④ \(16xy\)型,共\(96\)种;
因此该情形共\(3(14+96+48+96)=762\)种;
两对的情形共\(3{\rm A}_4^4=72\)种;
因此获胜的概率为\[\dfrac{762+72}{6^4}=\dfrac{139}{216}\approx 0.6435.\]
选择一次奖励A、一次奖励B
此时获胜的概率为\[1-\left(\dfrac {7}{12}\right)^3=\dfrac{1385}{1728}\approx 0.8015.\]
因此,选择一次奖励A,一次奖励B获胜的概率最大.
注 OuyangLan给出了选择两次奖励B后获胜概率的基于几何模型的算法,简便而直观.
考虑问题的反面,用\(1-6\)六种不同的颜色给正四面体的\(4\)个顶点分别染色,其中不存在任何一条棱的两个端点颜色之和为\(7\).很明显,\(4\)个顶点总共的颜色数为\(1\)、\(2\)或\(3\).
① \(1\)种颜色,有\(6\)种选色方案,\(1\)种染色方案;
② \(2\)种颜色,有\(12\)种选色方案,有\(20\)种染色方案;
③ \(3\)种颜色,有\(2\)种选色方案,有\(72\)种染色方案.
因此不能获胜的概率为\[\dfrac{6+240+144}{6^4}=\dfrac{77}{216},\]从而可以获胜的概率为\(\dfrac{139}{216}\).
加起来怎么会分子是77
倒数第二行有问题吧
的确有问题,加起来应该是65