每日一题[206] 掷骰子游戏

本题改编自2014年全国高中数学联赛福建省预赛第7题:

游戏规则如下:如果某次随机地投掷出手中的骰子后有\(2\)颗骰子的点数之和为\(7\),则获胜.现在手中恰好有\(2\)颗骰子,但有两种奖励(bonus)可以领取,请问选择哪种奖励获胜的几率大?

奖励A,额外的\(2\)次投掷机会;

奖励B,额外的\(1\)颗骰子.


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正确答案是选择奖励A.

选择奖励A

一次掷\(2\)颗骰子,那么获胜的概率为\(\dfrac{6}{36}=\dfrac 16\).于是,那么掷三次骰子获胜的概率为\[1-\left(\dfrac 56\right)^3=\dfrac{91}{216}\approx 0.4213.\]

选择奖励B

点数之和为\(7\)有三种可能:\(1+6\),\(2+5\),\(3+4\).设掷出的三个骰子点数分别为\(1,6,x\),那么若\(x\in\{1,6\}\),则有\(6\)种可能;若\(x\notin\{1,6\}\),则有\({\rm C}_4^1{\rm A}_3^3=24\)种.类似可得其他两种情况的可能数,因此获胜的概率为\[\dfrac{3\times (6+24)}{6^3}=\dfrac 5{12}\approx 0.4167.\]

综上,选择奖励A获胜的几率大.


更加有趣的问题是,如果可以选择两次奖励(相同的奖励可以叠加)后再进行投掷,那么应该如何选择呢?

此时有三种策略:选择两次奖励A;选择两次奖励B;以及选择一次奖励A,一次奖励B.

选择两次奖励A

如前所述,获胜概率为\[1-\left(\dfrac 56\right)^5=\dfrac{4651}{7776}\approx 0.5981.\]

选择两次奖励B

按和为\(7\)分为一对和两对计算.

一对的情形以\(1+6\)为例,有

① \(1116\)、\(1166\)、\(1666\)型,共\(14\)种;

② \(116x\)或\(166x\)型,共\(96\)种;

③ \(16xx\)型,共\(48\)种;

④ \(16xy\)型,共\(96\)种;

因此该情形共\(3(14+96+48+96)=762\)种;

两对的情形共\(3{\rm A}_4^4=72\)种;

因此获胜的概率为\[\dfrac{762+72}{6^4}=\dfrac{139}{216}\approx 0.6435.\]

选择一次奖励A、一次奖励B

此时获胜的概率为\[1-\left(\dfrac {7}{12}\right)^3=\dfrac{1385}{1728}\approx 0.8015.\]

因此,选择一次奖励A,一次奖励B获胜的概率最大.


    OuyangLan给出了选择两次奖励B后获胜概率的基于几何模型的算法,简便而直观.

QQ20150806-1

考虑问题的反面,用\(1-6\)六种不同的颜色给正四面体的\(4\)个顶点分别染色,其中不存在任何一条棱的两个端点颜色之和为\(7\).很明显,\(4\)个顶点总共的颜色数为\(1\)、\(2\)或\(3\).

① \(1\)种颜色,有\(6\)种选色方案,\(1\)种染色方案;

② \(2\)种颜色,有\(12\)种选色方案,有\(20\)种染色方案;

③ \(3\)种颜色,有\(2\)种选色方案,有\(72\)种染色方案.

因此不能获胜的概率为\[\dfrac{6+240+144}{6^4}=\dfrac{77}{216},\]从而可以获胜的概率为\(\dfrac{139}{216}\).

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每日一题[206] 掷骰子游戏》有3条回应

  1. lichang0928说:

    加起来怎么会分子是77

  2. lichang0928说:

    倒数第二行有问题吧

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