2014全国高中数学联赛江西省预赛试题．
已知\((1+x)^{50}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{50}x^{50}\)，则\(a_1+2a_2+3a_3+\cdots+25a_{25}\)的值为_______．
正确答案是\(50\cdot 2^{48}\)．
根据已知，有\[a_k={\rm C}_{50}^k,k=0,1,2,\cdots,50.\]
由组合恒等式\[\dfrac{{\rm C}_n^m}{{\rm C}_{n-1}^{m-1}}=\dfrac nm,\]于是可得\[m{\rm C}_n^m=n{\rm C}_{n-1}^{m-1}.\]这样就可以给二项式系数分别配给相应的系数．
将此恒等式应用到本题，所求代数式\[\sum_{k=1}^{25}k{\rm C}_{50}^k=\sum_{k=1}^{25}50{\rm C}_{49}^{k-1}=50\cdot 2^{48}.\]
注一 由此可以推广到\[\sum_{k=1}^nk\cdot {\rm C}_n^k=n\cdot 2^{n-1}.\]
注二 也可以对已知等式两侧分别求导得到所需要的系数\[50(1+x)^{49}=\sum_{k=1}^{50}k\cdot a_kx^{k-1},\]然后赋值，注意利用对称性即得．