每日一题[204] “垂径定理”

2014年全国高中数学联赛山东省预赛第13题：

设点$O$为椭圆的中心，点$A$为椭圆上异于顶点的任意一点，过点$A$作长轴的垂线，垂足为$M$，连接$AO$并延长交椭圆于另一点$B$，连接$BM$并延长交椭圆于点$C$，问是否存在椭圆，使得$BA\perp CA$？

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解    记$A(m,n)$，$B(-m,-n)$，$M(m,0)$，则根据椭圆的“垂径定理”，有

$$k_{CA}\cdot k_{CB}=-\dfrac{b^2}{a^2},$$ 而 $$k_{CA}=-\dfrac{1}{k_{AB}}=-\dfrac mn,$$ 且 $$k_{CB}=k_{BM}=\dfrac{n}{2m},$$ 于是可得 $$\left(-\dfrac mn\right)\cdot\dfrac{n}{2m}=-\dfrac{b^2}{a^2},$$ 化简得 $$a^2=2b^2.$$

因此存在符合题意的椭圆使得$BA\perp CA$，只需椭圆的离心率为$\dfrac{\sqrt 2}2$即可．

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注    2012年高考江苏卷第18题基本与本题一致：

如图，在平面直角坐标系$xOy$中，$M$、$N$分别是椭圆$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}2=1$的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于$P$、$A$零点，其中点$P$在第一象限，过$P$作$x$轴的垂线，垂足为$C$，连接$AC$，并延长交椭圆于点$B$，设直线$PA$的斜率为$k$．

（1）当$PA$平分线段$MN$时，求$k$的值；

（2）设$k=2$时，求点$P$到直线$AB$的距离$d$；

（3）对任意$k>0$，求证：$PA\perp PB$．