每日一题[2481]我干了你随意

设有理数 $r=\dfrac{p}{q} \in(0,1)$，其中 $p,q$ 为互素的正整数，且 $p q$ 整除 $3600$．这样的有理数 $r$ 的个数为_______．

答案    $112$．

由于 $3600=2^4\cdot 3^2\cdot 5^2$，因此 $p=2^{a_1}\cdot 3^{b_1}\cdot 5^{c_1}$，$q=2^{a_2}\cdot 3^{b_2}\cdot 5^{c_2}$，其中 $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\in\mathbb N$．满足\[\begin{cases} \min\{a_1,a_2\}=0,a_1+a_2\leqslant 4,\\ \min\{b_1,b_2\}=0,b_1+b_2\leqslant 2,\\ \min\{c_1,c_2\}=0,c_1+c_2\leqslant 2,\\ p<q,\end{cases}\]若不考虑 $p<q$，则符合要求的 $(p,q)$ 有 $9\cdot 5\cdot 5=225$ 个，除去 $(60,60)$ 外，剩下的 $(p,q)$ 可以构成 $112$ 对，每对均为互换 $p,q$ 得到的，对应 $112$ 个符合天题意的有理数 $r$．