2024年高考全国甲卷(理科)#12
已知 $b$ 是 $a,c$ 的等差中项,直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $x^2+y^2+4y-1=0$ 交于 $A,B$ 两点,则 $|AB|$ 的最小值为( )
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$6$
答案 C.
解析 题中圆即 $C:x^2+(y+2)^2=5$,圆心为 $C(0,-2)$,半径为 $\sqrt 5$.因为 $a,b,c$ 成等差数列,所以 $a-2 b+c=0$,也即直线 $a x+b y+c=0$ 过 $P(1,-2)$,因此当 $PC\perp AB$ 时,$|AB|$ 取得最小值,此时有 $|PC|=1$,$|AB|=2\sqrt{5-|PC|^2}=4$.