正三棱锥 $P-ABC$ 和正三棱锥 $Q-ABC$ 共底面 $ABC$,这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上,点 $P$ 和点 $Q$ 在平面 $ABC$ 的异侧,这两个正三棱锥的侧面与底面 $ABC$ 所成的角分别为 $\alpha,\beta$,则当 $\alpha+\beta$ 最大时,$\tan (\alpha+\beta)=$ ( )
A.$-\dfrac 1 3$
B.$-\dfrac 2 3$
C.$-1$
D.$-\dfrac 4 3$
答案 D.
解析 设球面球心为 $O$,正三角形 $ABC$ 的中心为 $H$ 且 $H$ 在线段 $OP$ 上,如图.
不妨设 $|OA|=2$,$|OH|=2\cos\theta$,$|HA|=2\sin\theta$,则\[\tan\alpha=\dfrac{2-2\cos\theta}{\sin\theta},\quad \tan\beta=\dfrac{2+2\cos\theta}{\sin\theta},\]因此\[\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\dfrac{\dfrac{2-2\cos\theta}{\sin\theta}+\dfrac{2+2\cos\theta}{\sin\theta}}{1-\dfrac{2-2\cos\theta}{\sin\theta}\cdot \dfrac{2+2\cos\theta}{\sin\theta}}=-\dfrac 43\sin\theta,\]因此当 $\alpha+\beta$ 最大时,$\tan(\alpha+\beta)=-\dfrac 43$.
M在椭圆上
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