$P$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点，$F_1 , F_2$ 是 $C$ 的两个焦点，$\overrightarrow{PF}_1\cdot\overrightarrow{PF}_2=0$；点 $Q$ 在 $\angle F_1 PF_2$ 的平分线上，$O$ 为原点，$OQ\parallel PF_1$，且 $|OQ|=b$．则 $C$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac 1 2$
B．$\dfrac{\sqrt 3}3$
C．$\dfrac{\sqrt 6}3$
D．$\dfrac{\sqrt 3}2$
答案 C．
解析 如图．
不妨设 $F_1$ 为椭圆的左焦点，设直线 $OQ$ 与 $x$ 轴交于点 $R$，$P$ 点坐标为 $(x_0,y_0)$，椭圆半焦距为 $c$，离心率为 $e$，则根据椭圆的切线方程，椭圆 $C$ 在点 $P$ 处的切线为\[\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1,\]于是直线 $OQ$ 的斜率为 $\dfrac{a^2y_0}{b^2x_0}$，进而 $R$ 点横坐标为 $e^2x_0$，因此结合椭圆的焦半径公式有\[\dfrac{|RO|}{|RF_1|}=\dfrac{|OQ|}{|PF_1|}\implies \dfrac{e^2x_0}{e^2x_0+c}=\dfrac{b}{a+ex_0}\implies \dfrac{ex_0}{ex_0+a}=\dfrac{b}{a+ex_0}\implies ex_0=b,\]因此 $|PF_1|=a+b$，$|PF_2|=a-b$，而 $\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=0$，所以\[|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2\implies (a+b)^2+(a-b)^2=(2c)^2\implies 2a^2=3c^2\implies e=\dfrac{\sqrt 6}3.\]
延长 $F_2Q$ 与 $PF_1$ 交于 $N$，如图．
（图传不上来）
由于 $O$ 为 $F_1F_2$ 中点且 $OQ\parallel PF_1$，于是 $NF_1=2|OQ|=2b$ 且 $Q$ 为 $NF_2$ 的中点，又 $PQ$ 平分 $\angle NPF_2$，从而 $|PN|=|PF_2|$，进而\[\begin{cases}|PF_1|+|PF_2|=2a,\\
|PF_1|-|PF_2|=2b,\end{cases}\iff\begin{cases}|PF_1|=a+b,\\
|PF_2|=a-b,\end{cases}\]又 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$，因此\[|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2\implies (a+b)^2+(a-b)^2=(2c)^2\implies e=\dfrac{\sqrt 6}3.\]
不妨设 $F_1$ 为椭圆的左焦点，过 $P$ 作椭圆 $C$ 的切线 $l$，作 $F_2$ 关于 $l$ 的对称点 $F_2'$，连接 $F_2F_2'$ 与 $l$ 交于 $M$，连接 $QM$，如图．
（图传不上来）
根据椭圆的光学性质，有 $PQ\perp PM$，$F_1,P,F_2'$ 共线，$O,Q,M$ 共线，且\[|OM|=\dfrac 12F_1F_2'=\dfrac 12(PF_1+PF_2)=a,\]于是 $|QM|=a-b$，容易证明两等腰直角三角形 $PMF_2,MPQ$ 全等，从而\[|PF_2|=QM=a-b,\]进而 $|PF_1|=a+b$，而 $\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=0$，所以\[|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2\implies (a+b)^2+(a-b)^2=(2c)^2\implies e=\dfrac{\sqrt 6}3.\]
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