每日一题[2482]面积坐标

在平面直角坐标系中,函数 $y=\dfrac{x+1}{|x|+1}$ 的图像上有三个不同的点位于直线 $l$ 上,且这三点的横坐标之和为 $0$.求直线 $l$ 的斜率的取值范围.

答案    $\left(0,\dfrac 29\right)$.

解析    题中函数即\[y=\begin{cases} \dfrac{x+1}{-x+1},&x<0,\\ 1,&x\geqslant 0,\end{cases}\]因此直线 $l$ 与函数 $y=\dfrac{x+1}{|x|+1}$ 的图像在 $x<0$ 的部分有 $2$ 个公共点,在 $x\geqslant 0$ 的部分有 $1$ 个公共点.因此可设这三个公共点分别为\[A\left(-a,\dfrac{-a+1}{a+1}\right),\quad B\left(-b,\dfrac{-b+1}{b+1}\right),\quad C\left(a+b,1\right),\]其中 $a>b>0$.因此\[[\triangle ABC]=\dfrac 12\begin{vmatrix}-a&\dfrac{-a+1}{a+1}&1\\ -b&\dfrac{-b+1}{b+1}&1\\ a+b&1&1 \end{vmatrix}=\dfrac{(a-b)(ab-a-b)}{(1+a)(1+b)},\]从而有\[ab-a-b=0\iff (a-1)(b-1)=1,\]而直线 $l$ 的斜率\[k=\dfrac{2}{(1+a)(1+b)}=\dfrac{2}{(t+2)\left(\dfrac 1t+2\right)}=\dfrac{2}{5+2\left(t+\dfrac 1t\right)},\]其中 $t=a-1$,取值范围为 $(1,+\infty)$,因此直线 $l$ 的斜率的取值范围是 $\left(0,\dfrac 29\right)$.

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