每日一题[2480]极差期望

一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数 $1,2,3,4,5,6$.随机地投掷该骰子三次(各次抛掷结果相互独立),所得的点数依次为 $a_{1},a_{2},a_{3}$,则事件\[\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6\]发生的概率为_______.

答案    $\dfrac 14$.

解析    根据题意,有\[\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6\iff \max\{a_1,a_2,a_3\}-\min\{a_1,a_2,a_3\}=3.\]

情形一     $a_1,a_2,a_3$ 各不相同,此时对应 $3\cdot 2\cdot 3!=36$ 种排列.

情形二     $a_1,a_2,a_3$ 中有两个数相同.此时对应 $3\cdot 2\cdot 3=18$ 种排列.

因此所求概率为\[\dfrac{36+18}{6^3}=\dfrac 14.\]

备注    事件 $\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=2k$ 的概率\[p(k)=\begin{cases} \dfrac{1}{36},&k=0,\\ \dfrac{k(6-k)}{36},&k=1,2,3,4,5.\end{cases}\]进而 $\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|$ 的数学期望是 $\dfrac{35}6$,也就是说最大数与最小数之差的数学期望是 $\dfrac{35}{12}$.

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