每日一题[2203]论证与构造

若存在 $n$ 边形可分成有限个平行四边形,则 $n$ 的可能取值包括(       )

A.大于等于 $4$ 的偶数

B.大于等于 $5$ 的奇数

C.大于等于 $4$ 的整数

D.以上答案均不正确

答案    A.

解析    若一个 $n$ 边形($n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 4$)存在平行四边形剖分,设分成 $x$ 个平行四边形,这些平行四边形在 $n$ 边形的内部的顶点数为 $y$,则考虑这些平行四边形的内角之和,有\[2\pi \cdot x=2\pi\cdot y+(n-2)\cdot \pi\iff 2x-2y=n-2,\]因此 $n$ 必然是偶数. 如图,取折线 $A_1A_2A_3\cdots A_k$ 平行移动到折线 $B_1B_2B_3\cdots A_k$,得到 $2k$ 边形 $A_1A_2\cdots A_kB_k\cdots B_2B_1$,则连接 $A_2B_2,\cdots,A_{k-1}B_{k-1}$,则得到此 $2k$ 边形的一个平行四边形剖分,因此 $n$ 的可能取值包括所有大于等于 $4$ 的偶数.

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