每日一题[2202]保值区间

已知实数列| $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n^2-2$,且存在正实数 $m$,使得 $|a_n|\leqslant m$ 恒成立,则 $a_{2021}$ 的最小值是_______.

答案    $-2$.

解析    设迭代函数为 $f(x)=x^2-2$,利用迭代函数法处理,如图.

当 $a_1>2$ 时,有\[\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}=a_n+2>4,\]于是 $\{a_n\}$ 无上界,不符合题意; 当 $a_1\in [-2,2]$ 时,有 $|a_n|\leqslant 2$,符合题意. 当 $a_1<-2$ 时,$a_2>2$,进而当 $n\geqslant 2$ 时,有\[\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}=a_n+2>4,\]于是 $\{a_n\}$ 无上界,不符合题意; 综上所述,有 $|a_{2021}|\leqslant 2$,接下来验证 $a_{2021}$ 是否可以取得 $-2$.设 $a_n=2\cos\theta_n$($n\in\mathbb N^{\ast}$),$\theta_{2021}=\pi $,则\[\theta_{n-1}=\dfrac 12\theta_n,n\in\mathbb N^{\ast},n\geqslant 2,\]因此取 $a_1=2\cos\dfrac{\pi}{2^{2020}}$ 即可.因此 $a_{2021}$ 的最小值为 $-2$.

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