每日一题[2204]擦肩而过

方程 $|\sin\pi x|=\dfrac{2x}{2021}$ 有_______个解.

答案    $2022$.

解析    当 $x<0$ 时,方程无解.接下来考虑 $x\geqslant 0$ 的情形. 考虑到函数 $f(x)=|\sin \pi x|$ 在区间 $[k,k+1)$($k\in\mathbb N$)上函数值从 $0$ 递增到 $1$ 然后再递减到 $0$,且函数图象上凸.因此在每个形如 $[k,k+1)$($k\in\mathbb N$)的区间上,如果点 $P_k\left(k+\dfrac 12,1\right)$ 在直线 $l:y=\dfrac{2x}{2021}$ 上方(包括在直线 $l$ 上),则在该区间上函数 $f(x)$ 的图象与直线 $l$ 有 $2$ 个公共点.而当 $k<1010$ 时,$P_k$ 在直线 $l$ 上方;当 $k=1010$ 时,$P_k$ 在直线 $l$ 上;当 $k> 1010$ 时,$P_k$ 在直线 $l$ 下方.因此在区间 $[0,1011)$ 上,题中方程有 $2022$ 个实数解. 考虑当 $x\geqslant 1011$ 时,有\[\dfrac{2x}{2021}\geqslant \dfrac {2022}{2021}>1>|\sin \pi x|,\]于是在区间 $[1011,+\infty)$ 上,题中方程没有实数解. 综上所述,题中方程共有 $2022$ 个实数解.

备注    值得注意的是,如果点 $P_k$ 在直线 $l$ 的下方,并不能确定该区间上函数 $f(x)$ 的图象与直线 $l$ 的公共点个数(可能相交、相切或者相离).

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