每日一题[2033]上下无界

设函数 $f(x,y,z)=\dfrac x{x+y}+\dfrac y{y+z}+\dfrac z{z+x}$,其中 $x,y,z$ 均为正实数,则有(       )

A.$f$ 既有最大值也有最小值

B.$f$ 有最大值但没有最小值

C.$f$ 没有最大值但有最小值

D.前三个答案都不对

答案    D.

解析  一方面,有\[\sum_{\rm cyc}\dfrac x{x+y}>\sum_{\rm cyc}\dfrac x{x+y+z}=1,\]又\[\sum_{\rm cyc}\left(1-\dfrac z{x+y}\right)<3-\sum_{\rm cyc}\dfrac{z}{x+y+z}=2,\]因此\[1<f(x,y,z)<2.\]另一方面,有\[f(x,1,0^+)\to\dfrac{x}{x+1}+1=2-\dfrac{1}{x+1},\]因此当 $x\to 0$ 以及 $x\to +\infty$ 时,有 $f(x,1,0^+)\to 1$ 以及 $f(x,1,0^+)\to 2$,因此 $f$ 既没有最大值,也没有最小值.

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