每日一题[2032]不定方程

方程 $19x+93y=4xy$ 的整数解个数为_______.

答案    $8$.

解析    题中方程即\[4x\cdot 4y-19\cdot 4x-93\cdot 4y=0\iff (4x-93)(4y-19)=3\cdot 19\cdot 31,\]考虑到 $4x-93\equiv 3\pmod 4$ 且 $4y-19\equiv 1\pmod 4$,且 $3,19,31$ 模 $4$ 均为 $3$,于是 $4x-93$ 的所有可能取值为\[3,19,31,3\cdot 19\cdot 31,-1,-3\cdot 19,-3\cdot 31,-19\cdot 31,\]共 $8$ 个.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论