每日一题[2032]不定方程

方程 $19x+93y=4xy$ 的整数解个数为_______.

答案    $8$.

解析    题中方程即\[4x\cdot 4y-19\cdot 4x-93\cdot 4y=0\iff (4x-93)(4y-19)=3\cdot 19\cdot 31,\]考虑到 $4x-93\equiv 3\pmod 4$ 且 $4y-19\equiv 1\pmod 4$,且 $3,19,31$ 模 $4$ 均为 $3$,于是 $4x-93$ 的所有可能取值为\[3,19,31,3\cdot 19\cdot 31,-1,-3\cdot 19,-3\cdot 31,-19\cdot 31,\]共 $8$ 个.

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