每日一题[2034]多项式的有理根

设 $p,q$ 均为不超过 $100$ 的正整数,则有有理根的多项式 $f(x)=x^5+px+q$ 的个数为_______.

答案    $133$.

解析    函数 $f(x)$ 单调递增,因此有唯一负有理根,注意到最高项系数为 $1$,因此 $f(x)$ 的有理根为负整数,设为 $-k$,则\[-k^5-kp+q=0\implies k^5=q-kp\leqslant 100-1,\]因此 $k=1,2$. 当 $k=1$ 时,有 $(p,q)=(t,t+1)$,其中 $t=1,2,\cdots,99$,共 $99$ 组; 当 $k=2$ 时,有 $(p,q)=(t,32+2t)$,其中 $t=1,2,\cdots,34$,共 $34$ 组; 综上所述,符合题意的多项式的个数为 $99+34=133$.

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