每日一题[2031]类等比性质

整数列 $\{a_n\}_{n\geqslant 1}$ 满足 $a_1=1$,$a_2=4$,且对任意 $n\geqslant 2$,有 $a_n^2-a_{n+1}a_{n-1}=2^{n-1}$,则 $a_{2020}$ 的个位数字是_______.

答案    $8$

解析    根据题意,有\[a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n=2\left(a_n^2-a_{n+1}a_{n-1}\right),\]因此\[\dfrac{a_{n+2}+2a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+1}+2a_{n-1}}{a_n}=\cdots=\dfrac{a_3+2a_1}{a_2}=4,\]从而\[a_{n+2}=4a_{n+1}-2a_n,\]于是 $a_n$ 模 $10$ 的余数为\[\begin{array}{c|cccccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline a_n\pmod{10}&1&4&4&8&4&0&2&8&8&6 \\ \hline n&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\ \hline a_n\pmod{10}&8&0&4&6&6&2&6&0&8&2\\ \hline n&21&22&23&24&25&26&27&28&29&30\\ \hline a_n\pmod{10}&2&4&2&0&6&4&4&8&4&0\\ \hline \end{array}\] 从第 $2$ 项起,以 $24$ 为周期,因此 $a_{2020}\equiv a_4\equiv 8\pmod{10}$.

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