每日一题[2026]拳头就是道理

满足对任意 $n\geqslant 1$ 有 $a_{n+1}=2^n-3a_n$ 且严格递增的数列 $\{a_n\}_{n\geqslant 1}$ 的个数为_______．

答案    $1$个．

解析    设 $a_1=a$，根据题意，有

$$\dfrac{a_{n+1}}{(-3)^{n+1}}=\dfrac{a_n}{(-3)^n}-\dfrac 13\left(-\dfrac 23\right)^n,$$ 从而 $$\dfrac{a_n}{(-3)^n}=-\dfrac a{3}+\dfrac{\dfrac 23+\left(-\dfrac 23\right)^n}{5},$$ 进而 $$a_n=\dfrac{2-5a}{15}\cdot (-3)^n+\dfrac 15\cdot 2^n,$$ 因此只有当 $a=\dfrac 25$ 时，$\{a_n\}$ 为严格递增数列；当 $a\ne \dfrac 25$ 时，$\{a_n\}$ 为摆动数列．