每日一题[2026]拳头就是道理

满足对任意 $n\geqslant 1$ 有 $a_{n+1}=2^n-3a_n$ 且严格递增的数列 $\{a_n\}_{n\geqslant 1}$ 的个数为_______.

答案    $1$个.

解析    设 $a_1=a$,根据题意,有\[\dfrac{a_{n+1}}{(-3)^{n+1}}=\dfrac{a_n}{(-3)^n}-\dfrac 13\left(-\dfrac 23\right)^n,\]从而\[\dfrac{a_n}{(-3)^n}=-\dfrac a{3}+\dfrac{\dfrac 23+\left(-\dfrac 23\right)^n}{5},\]进而\[a_n=\dfrac{2-5a}{15}\cdot (-3)^n+\dfrac 15\cdot 2^n,\]因此只有当 $a=\dfrac 25$ 时,$\{a_n\}$ 为严格递增数列;当 $a\ne \dfrac 25$ 时,$\{a_n\}$ 为摆动数列.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论