每日一题[2025]解三角形

在锐角 $\triangle ABC$ 中,$AC=1$,$AB=c$,$\triangle ABC$ 的外接圆半径长 $R\leqslant 1$,求证:\[\cos A<c\leqslant \cos A+\sqrt 3\sin A.\]

解析    根据射影定理,有\[c=AC\cdot \cos A+BC\cdot \cos B>\cos A,\]接下来证明\[BC\cdot \cos B\leqslant \sqrt 3\sin A\iff \dfrac{BC}{\sin A}\leqslant \dfrac{\sqrt 3}{\cos B}\iff 2R\leqslant \dfrac{\sqrt 3}{\cos B},\]而\[\sin B=\dfrac{AC}{2R}\geqslant \dfrac 12,\]从而 $\cos B\leqslant \dfrac{\sqrt 3}2$,命题成立. 综上所述,原命题得证.

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