每日一题[2003]小圆大球

已知 $A,B,C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，圆 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆．若圆 $O_1$ 的面积为 $4\pi$，$AB=BC=AC=OO_1$，则球 $O$ 的表面积为（       ）

A．$64\pi$

B．$48\pi$

C．$36\pi$

D．$32\pi$

解析    根据题意，$O-ABC$ 为正三棱锥．由于正三角形 $ABC$ 的外接圆半径为 $2$，因此边长为 $2\sqrt 3$，进而可得球 $O$ 的半径

$$OA=\sqrt{OO_1^2+O_1A^2}=\sqrt{AB^2+\left(\dfrac 23\cdot \dfrac{\sqrt 3}2\cdot AB\right)^2}=4,$$ 因此球 $O$ 的表面积为 $4\pi\cdot OA^2=64\pi$．