每日一题[2003]小圆大球

已知 $A,B,C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点,圆 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆.若圆 $O_1$ 的面积为 $4\pi$,$AB=BC=AC=OO_1$,则球 $O$ 的表面积为(       )

A.$64\pi$

B.$48\pi$

C.$36\pi$

D.$32\pi$

解析    根据题意,$O-ABC$ 为正三棱锥.由于正三角形 $ABC$ 的外接圆半径为 $2$,因此边长为 $2\sqrt 3$,进而可得球 $O$ 的半径\[OA=\sqrt{OO_1^2+O_1A^2}=\sqrt{AB^2+\left(\dfrac 23\cdot \dfrac{\sqrt 3}2\cdot AB\right)^2}=4,\]因此球 $O$ 的表面积为 $4\pi\cdot OA^2=64\pi$.

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