每日一题[2002]隐藏的定值

已知 $A,B$ 分别为椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$($a>1$)的左、右顶点,$G$ 为 $E$ 的上顶点,$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=8$.$P$ 为直线 $x=6$ 上的动点,$PA$ 与 $E$ 的另一交点为 $C$,$PB$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$.

1、求 $E$ 的方程.

2、证明:直线 $CD$ 过定点.

解析

1、根据题意,有 $G(0,1)$,$A(-a,0)$,$B(a,0)$,于是\[\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=8\iff (a,1)\cdot (a,-1)=8\iff a^2=9,\]于是 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{9}+y^2=1$.

2、如图.

设 $P(6,t)$,直线 $AC,BD,AD$ 的斜率分别为 $k_{AC},k_{BD},k_{AD}$,则\[k_{BD}=\dfrac t3=3\cdot \dfrac t9=3k_{AC},\]又根据椭圆的垂径定理,有\[k_{AD}\cdot k_{BD}=-\dfrac 19\implies k_{AC}\cdot k_{AD}=-\dfrac 1{27}.\]平移坐标系,使得 $A$ 为新坐标系原点,$C,D$ 的对应点分别为 $C',D'$,且 $C'D':mx'+ny'=1$,此时椭圆方程为\[\dfrac{(x'-3)^2}{9}+y'^2=1,\]即\[\dfrac {x'^2}9-\dfrac 23x'+y'^2=0,\]与直线 $C'D'$ 方程化齐次联立可得\[\dfrac {x'^2}{9}-\dfrac 23x'(mx'+ny')+y'^2=0,\]根据韦达定理,有\[\dfrac 19-\dfrac 23m=-\dfrac 1{27}\iff m=\dfrac 29,\]因此直线 $C'D'$ 恒过点 $M'\left(\dfrac 92,0\right)$.回到原坐标系,可得直线 $CD$ 过定点 $\left(\dfrac 32,0\right)$.

备注    $CD$ 过极线 $x=6$ 对应的极点 $M\left(\dfrac 32,0\right)$

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每日一题[2002]隐藏的定值》有4条回应

  1. marpluto marpluto说:

    交点曲线系:设直线 $CD$ 的方程为 $x=my+n$, 则过 $A,B,C,D$ 四点的二次曲线系为 \[\left(y-\dfrac t9(x+3)\right)\left(y-\dfrac t3(x-3)\right)+\lambda y(x-my-n)=0,\] 该方程可以表示椭圆 $\dfrac{x^2}9+y^2=1$, 于是 \[\begin{cases}-\dfrac t9-\dfrac t3+\lambda=0,\\\dfrac t3+t-\lambda n=0,\end{cases}\implies n=\dfrac32,\] 于是直线 $CD$ 过定点 $\left(\dfrac 32,0\right)$.

  2. marpluto marpluto说:

    参数弦方程:设 $P(6,t)$, 点 $C,D$ 对应的参数分别为 $2\alpha,2\beta$, 则直线 $AC$ 的方程为 \[-\dfrac x3+t\cot\alpha=1,\] 由于 $P$ 在 $AC$ 上,于是 \[\tan\alpha=\dfrac t3,\] 同理,由 $P$ 在 $BD$ 上有 \[\tan\beta=-\dfrac1t,\] 于是 \[\tan\alpha\cdot\tan\beta=-\dfrac13,\] 由椭圆参数方程相关的结论知直线 $CD$ 恒过点 $\left(\dfrac 32,0\right)$.

  3. marpluto marpluto说:

    硬算:设 $P(6,t)$, 于是直线 $PA$ 的方程为 $y=\dfrac t9(x+3)$, 与椭圆方程联立,得 \[\left(9+t^2\right)x^2+6t^2x+9t^2-81=0,\] 根据韦达定理,有 \[x_C\cdot(-a)=\dfrac{9t^2-81}{9+t^2}\implies x_C=-\dfrac{3t^2-27}{9+t^2},\] 于是 $C\left(-\dfrac{3t^2-27}{9+t^2},\dfrac{6t}{9+t^2}\right)$, 同理可得 $D\left(\dfrac{3t^2-3}{1+t^2},-\dfrac{2t}{1+t^2}\right)$, 因此直线 $CD$ 的方程为 \[y+\dfrac{2t}{1+t^2}=-\dfrac{4t}{3\left(t^2-3\right)}\left(x-\dfrac{3t^2-3}{1+t^2}\right),\] 即 \[3yt^4+(4x-6)t^2-6yt^2+(4x-6)t-9y=0,\] 令 \[y=4x-6=0\implies\begin{cases}x=\dfrac32,\\y=0,\end{cases}\] 于是直线 $CD$ 过定点 $\left(\dfrac 32,0\right)$.

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