每日一题[2004]奇偶分流

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1)^na_n=3n-1$,前 $16$ 项和为 $540$,则 $a_1=$_______.

答案    $7$.

解析    在题中等式中分别取 $n=2,6,10,14$,可得\[\begin{cases} a_2+a_4=5,\\ a_6+a_8=17,\\ a_{10}+a_{12}=29,\\ a_{14}+a_{16}=41,\end{cases}\implies a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}+a_{14}+a_{16}=92.\]令 $n=2k-1$,可得\[a_{2k+1}=a_{2k-1}+6k-4\implies a_{2k+1}=a_1+3k^2-k,\]因此\[a_1+a_3+\cdot+a_{15}=8a_1+\sum_{k=1}^7(3k^2-k)=8a_1+392,\]从而\[540=92+(8a_1+392)\iff a_1=7.\]

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