每日一题[1991]枚举

将 $5$ 个 $1$，$5$ 个 $2$，$5$ 个 $3$，$5$ 个 $4$，$5$ 个 $5$ 共 $25$ 个数填入一个 $5$ 行 $5$ 列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 $2$．考虑每列中各数之和，设这 $5$ 个和的最小值为 $M$，则 $M$ 的最大值为 _______．

答案    $10$．

解析    依据 $5$ 个 $1$ 分布的列数的不同情形进行讨论，确定 $M$ 的最大值．

情形一     若 $5$ 个 $1$ 分布在同一列，则 $M=5$；

情形二    若 $5$ 个 $1$ 分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为 $3$，故 $2M\leqslant 5\times1+5\times 3=20$，故 $M\leqslant 10$；

情形三    若 $5$ 个 $1$ 分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为 $3$，故 $3M\leqslant 5\times1+5\times 2+5\times 3=30$，故 $M\leqslant 10$；

情形四    若 $5$ 个 $1$ 分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于 $3$，这与已知矛盾，

综上所述，$M\leqslant 10$． 另一方面，如下表的例子说明 $M$ 可以取到 $10$，故 $M$ 的最大值为 $10$． $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 1&1&1&4&5\\\hline 1&1&2&4&5\\\hline 2&2&2&4&5\\\hline 3&3&2&4&5\\\hline 3&3&3&4&5\\\hline \end{array}$$

备注    $2016$年全国初中联赛第$13$题，后被选做$2017$年北京市西城区高三一模题．