每日一题[1963]转角为边

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分为 $a,b,c$，$b=1$，$c\sin A=2\sqrt 3\sin^2C$，则 $\dfrac{\sin C}{\sin B}$ 的最大值为（       ）

A．$2+\sqrt 3$

B．$2-\sqrt 3$

C．$3+\sqrt 2$

D．$3-\sqrt 2$

答案    A．

解析    根据正弦定理，有

$$c\sin A=2\sqrt 3\sin^2C\iff a=2\sqrt 3 \sin C,$$ 且 $\dfrac{\sin C}{\sin B}=\dfrac cb=c$．根据余弦定理，有 $$\begin{split} c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C\\ &=12\sin^2C+1-4\sqrt 3\sin C\cos C\\ &=6(1-\cos 2C)-2\sqrt 3\sin 2C+1\\ &=7-4\sqrt 3\sin\left(2C+\dfrac{\pi}3\right)\\ &\leqslant 7+4\sqrt 3,\end{split}$$ 等号当 $C=\dfrac{7\pi}{12}$ 时取得，因此所求最大值为 $2+\sqrt 3$．