每日一题[1949]引参加强

已知函数 $f(x)=x\ln x$．

1、若函数 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x^2}-\dfrac 1x$，求 $g(x)$ 的极值．

2、证明：$f(x)+1<{\rm e}^x-x^2$．

解析

1、根据题意，有 $g(x)=\dfrac{\ln x-1}x$，其导函数

$$g'(x)=\dfrac{2-\ln x}{x^2},$$ 于是函数 $g(x)$ 在 $\left(0,{\rm e}^2\right)$ 上单调递增，在 $\left({\rm e}^2,+\infty\right)$ 上单调递减，在 $x={\rm e}^2$ 处取得极大值 $g\left({\rm e}^2\right)={\rm e}^{-2}$．

2、由于 $\ln x\leqslant x-1$，考虑证明

$${\rm e}^x-x^2-1-x(x-1)>0\iff {\rm e}^x-1+x-2x^2>0,$$ 设 $h(x)={\rm e}^x-1+x-ax^2$，则其导函数 $$h'(x)={\rm e}^x+1-2ax,$$ 令 $a=\dfrac{{\rm e}^2+1}4$，则 $h(x)$ 的最大值为 $$h(2)={\rm e}^2-7>0,$$ 此时 $$a=\dfrac{{\rm e}^2+1}4>2,$$ 因此命题得证．