已知 $x,y\in\mathbb R$，且 $x+y>0$，则 $\dfrac{3+2x^2+xy+y^2}{x+y}$ 的最小值为_______．
答案 $\dfrac{\sqrt{42}}2$．
解析 根据题意，有\[\begin{split}\dfrac{3+2x^2+xy+y^2}{x+y}&=y+\dfrac{3+2x^2}{x+y}\\ &=x+y+\dfrac{3+2x^2}{x+y}-x\\ &\geqslant 2\sqrt{3+2x^2}-x\\ &=2\sqrt 2\cdot \sqrt{\dfrac 32+x^2}-x\\ &\geqslant \sqrt 7\cdot \sqrt{\dfrac 32}\\ &=\dfrac{\sqrt{42}}2,\end{split}\]等号当 $x+y=\sqrt{3+2x^2}$ 且 $2\sqrt 2=\sqrt{\dfrac{32+x^2}{x^2}}$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt{42}}2$．
练习 若 $x,y\in\mathbb R$，则 $m=x^2-2xy+3y^2-x+y$ 的最小值是______．
解析 根据题意，有\[\begin{split} m&=3y^2+(1-2x)y+x^2-x\\ &\geqslant \dfrac{12(x^2-x)-(1-2x)^2}{12}\\ &=\dfrac{8x^2-8x-1}{12}\\ &\geqslant -\dfrac 14,\end{split}\]等号当 $x=\dfrac 12$，$y=0$ 时取得，因此所求最小值为 $-\dfrac 14$．
想问一下累次求最值中的累次是什么意思？
用了两个不等式（均值和柯西）
第一个问题的32应该写成3/2吧，是不是写错了？
。
下面那个不等式的依据是啥？
先提x，再添符号，然后基本不等式
或者理解为二次函数极值为-b^2/4a
懂了老哥，就是将x看做未知数。