确定所有的复数 α，使得对满足 |z1|,|z2|<1，z1≠z2 的任意复数 z1,z2），均有(z1+α)2+α¯z1≠(z2+α)2+α¯z2.
答案 {α∣α∈C,|α|⩾2}．
解析 记 fα(z)=(z+α)2+α¯z，则fα(z1)−fα(z2)=(z1+z2+2α)(z1−z2)+α(¯z1−¯z2).假如存在满足 |z1|,|z2|<1，z1≠z2 的复数 z1,z2，使得 fα(z1)=fα(z2)，则|α(¯z1−¯z2)|=|−(z1+z2+2α)(z1−z2)|,利用 |¯z1−¯z2|=|z1−z2|≠0 得|α|=|z1+z2+2α|⩾2|α|−|z1|−|z2|>2|α|−2⟺|α|<2. 另一方面，对任意满足 |α|<2 的复数 α，令 z1=−α2+βi，z2=−α2−βi，其中 0<β<1−|α|2，则 z1≠z2，而|−α2±βi|⩽|−α2|+|β|<1,故 |z1|,|z2|<1．此时将{z1+z2=−α,z1−z2=2βi,¯z1−¯z2=−2βi,代入可得fα(z1)−fα(z2)=α⋅2βi+α⋅(−2βi)=0⟺fα(z1)=fα(z2). 综上所述，所有的复数 α 为 {α∣α∈C,|α|⩾2}．