每日一题[1720]画图优先

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，渐近线分别为 $l_1,l_2$，点 $P$ 在第一象限内且在 $l_1$ 上，若 $l_2\perp PF_1$，$l_2\parallel PF_2$，则双曲线的离心率是（       ）

A．$\sqrt5$

B．$2$

C．$\sqrt3$

D．$\sqrt2$

答案    B．

解析    根据题意，$\triangle F_1PF_2$ 为直角三角形，且 $\angle F_1PF_2$ 为直角，设 $O$ 为坐标原点，$M$ 为 $PF_1$ 的中点，则 $OP$ 和 $OM$ 是双曲线的两条渐近线．

设 $\angle POF_2=\angle POF_1=\theta$，则 $\angle MOF_1$ 与 $\angle MF_1O$ 互余可得

$$\angle MOF_1+\dfrac 12\angle POF_2=\dfrac{\pi}2\implies \theta+\dfrac 12\theta=\dfrac{\pi}2\implies \theta=\dfrac{\pi}3,$$ 因此双曲线的离心率为 $2$．