每日一题[1719]极坐标

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{2}=1$,过 $F(2,0)$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点,点 $C$ 在直线 $x=3$ 上,若 $\triangle ABC$ 为正三角形,则 $\triangle ABC$ 的面积为(       )

A.$\sqrt 3$

B.$\dfrac32$

C.$\dfrac{3\sqrt 3}2$

D.$\dfrac92$

答案    C.

解析    以 $F$ 为极点建立极坐标系,设 $A(\theta:m)$,$B(\theta-\pi:n)$,则 $AB$ 的中点 $M\left(\theta:\dfrac{m-n}2\right)$,于是根据题意,有\[1-\dfrac{m-n}2\cdot \cos\theta=\dfrac{\sqrt 3}2\cdot (m+n)\cdot \sin\theta,\]于是根据椭圆的焦半径公式 $II$,有\[2-\left(\dfrac{2}{\sqrt 6+2\cos\theta}-\dfrac{2}{\sqrt 6-2\cos\theta}\right)\cos\theta=\sqrt 3 \left(\dfrac{2}{\sqrt 6+2\cos\theta}+\dfrac{2}{\sqrt 6-2\cos\theta}\right)\sin\theta,\]解得 $\sin\theta=\dfrac{\sqrt 2}2$,因此 $\triangle ABC$ 的边长为 $\sqrt 6$,面积为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$.

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