每日一题[1683]抓主要矛盾

设 $S(x)$ 表示自然数 $x$ 的数字和，则方程 $x+S(x)+S(S(x))=2013$ 的解集是_______．

答案    $\{1979,1985,1991,2003\}$．

解析    易知 $x$ 为四位数，且 $1900<x<2100$．

情形一    $x=\overline{19ab}$，此时方程即

$$(1900+10a+b)+(1+9+a+b)+S(10+a+b)=2013,$$ 即 $$11a+2b+S(a+b)=102,$$ 由于 $2b+S(a+b)\leqslant 18+18=36$，于是 $a\geqslant 6$，逐一尝试可得 $x=1979,1985,1991$ 符合题意．

情形二    $x=\overline{20ab}$，此时方程即

$$(2000+10a+b)+(2+0+a+b)+S(2+a+b)=2013,$$ 即 $$11a+2b+S(2+a+b)=11,$$ 于是 $a=0$，进而可得 $b=3$，可得 $x=2003$ 符合题意． 综上所述，所求方程的解集为 $\{1979,1985,1991,2003\}$．