每日一题[1631]“不动点”

设 $f_1(x)=\sqrt {x^2+32}$,$f_{n+1}(x)=\sqrt {x^2+\dfrac {16}{3}f_n(x)}$,$n=1,2,\cdots$.对每个 $n$,求 $f_{n}(x)=3x$ 的实数解.

答案    $x=2$.

解析    考虑 $f_1(x)=3x$ 的解为 $x=2$,此时 $f_1(2)=6$,因此 $f_2(2)=6$,以此类推,可得 $f_n(2)=6$,因此 $x=2$ 是方程 $f_n(x)=3x$ 的实数解. 下面证明方程 $f_n(x)=3x$ 没有 $x=2$ 以外的实数解,显然只需要考虑 $x>0$ 的情形.

情形一    $x>2$.此时有\[f_1(x)=\sqrt{x^2+32}<3x<\dfrac 32x^2,\]于是\[f_2(x)<\sqrt{x^2+\dfrac{16}{3}\cdot \dfrac 32x^2}=3x<\dfrac 32x^2,\]以此类推,可得 $f_n(x)<3x$($n\in\mathbb N^{\ast}$).

情形二    $0<x<2$.此时有\[f_1(x)=\sqrt{x^2+32}>3x,\]于是\[f_2(x)>\sqrt{x^2+\dfrac{16}{3}\cdot 3x}=3x\cdot \sqrt{\dfrac19+\dfrac{16}{9x}}>3x,\]以此类推,可得 $f_n(x)>3x$($n\in\mathbb N^{\ast}$). 综上所述,$f_n(x)=3x$ 的实数解为 $x=2$.

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