每日一题[1614]三射线定理

如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AB=AC=5$，$D,E$ 分别为 $BC,BB_1$ 的中点，四边形 $B_1BCC_1$ 是边长为 $6$ 的正方形．

1、求证：$A_1B \parallel AC_1D$．

2、求证：$CE \perp AC_1D$．

3、求二面角 $C-AC_1-D$ 的余弦值．

解析

1、连接 $A_1C$ 交 $AC_1$ 于 $O$，连接 $OD$，如图．

由于 $O$ 平分 $A_1C$，$D$ 平分 $BC$，于是 $OD\parallel A_1B$，进而 $A_1B\parallel AC_1D$．

2、直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧棱 $C_1C$ 与面 $ABC$ 垂直，进而 $C_1C\perp AD$，又 $AD\perp BC$，于是 $AD\perp BCC_1B_1$，进而 $AD\perp CE$．又 $CE\perp C_1D$，于是 $CE\perp AC_1D$．

3、考虑三面角 $C_1-ACD$，由于 $\tan\angle AC_1C=\dfrac 56$，$\tan\angle CC_1D=\dfrac 12$，$\tan\angle AC_1D=\dfrac{4}{3\sqrt 5}$，于是二面角 $C-AC_1-D$ 的大小 $\varphi$ 满足

$$\cos\angle CC_1D=\cos\angle CC_1A\cos\angle AC_1D+\sin\angle CC_1A\sin\angle AC_1D\cos\varphi,$$ 即 $$\dfrac2{\sqrt 5}=\dfrac{6}{\sqrt{61}}\cdot \dfrac{3\sqrt 5}{\sqrt {61}}+\dfrac{5}{\sqrt {61}}\cdot \dfrac{4}{\sqrt {61}}\cos\varphi,$$ 解得 $\cos\varphi=\dfrac{8\sqrt 5}{25}$．