每日一题[1550]绝对值的整理

设实数 $a,b$ 满足不等式 $\big| |a| - (a+b)\big| < \big|a-|a+b| \big|$，则 $a$ ____ $0$，$b$____$0$．（填 $>$ 或 $<$）

答案       $<$；$>$．

解析       

法一       根据题意，$|a|,a+b,a,|a+b|$ 均不为 $0$，且 $b\ne 0$．考虑到这四个数之间的联系，设 $A,B,C,D$ 是数轴上顺次四点，$O$ 为数轴原点，且 $|OA|=|OD|$，$|OB|=|OC|$，如图．

考虑到 $|a|,|a+b|$ 为 $C,D$ 或 $D,C$，题中不等式实质为 $|CD|<|BD|$，因此 $a<0$，$a+b>0$，从而 $a<0$，$b>0$．

法二       根据题意，有

$$\left(|a|-(a+b)\right)^2<(a-|a+b|)^2,$$ 即 $$a\cdot |a+b|<|a|\cdot (a+b),$$ 显然 $|a|\cdot |a+b|>0$，于是 $$\dfrac{a}{|a|}<\dfrac{a+b}{|a+b|},$$ 而 $\dfrac{x}{|x|}\in \{-1,1\}$，于是 $$\begin{cases} \dfrac{a}{|a|}=-1,\\ \dfrac{a+b}{|a+b|}=1,\end{cases}\implies \begin{cases} a<0,\\ a+b>0,\end{cases} \implies \begin{cases} a<0,\\ b>0.\end{cases}$$