每日一题[1382]对称的角

已知 $n$ 是奇数，且 $a_k=k=a_{n-k+1}$，$1\leqslant k\leqslant \dfrac{n+1}2$，则

$$\dfrac{a_1\sin\alpha+a_2\sin 2\alpha+\cdots+a_n\sin n\alpha}{a_1\cos\alpha+a_2\cos 2\alpha+\cdots+a_n\cos n\alpha}$$ 的值为_______．

答案    $\tan\dfrac{n+1}2\alpha$．

解析    设复数 $z_k=(k\alpha:a_k)$，则复数 $z_k$ 和 $z_{n-k+1}$ 的模相等，进而 $z_k+z_{n-k+1}$ 的辐角为 $\dfrac{n+1}\alpha$，进而所求代数式为

$$\tan\arg(z_1+z_2+\cdots+z_n)=\tan\dfrac{n+1}2\alpha.$$