已知 $n$ 是奇数，且 $a_k=k=a_{n-k+1}$，$1\leqslant k\leqslant \dfrac{n+1}2$，则\[\dfrac{a_1\sin\alpha+a_2\sin 2\alpha+\cdots+a_n\sin n\alpha}{a_1\cos\alpha+a_2\cos 2\alpha+\cdots+a_n\cos n\alpha}\]的值为_______．
答案 $\tan\dfrac{n+1}2\alpha$．
解析 设复数 $z_k=(k\alpha:a_k)$，则复数 $z_k$ 和 $z_{n-k+1}$ 的模相等，进而 $z_k+z_{n-k+1}$ 的辐角为 $\dfrac{n+1}\alpha$，进而所求代数式为\[\tan\arg(z_1+z_2+\cdots+z_n)=\tan\dfrac{n+1}2\alpha.\]