每日一题[1359]格点组合

坐标平面上的整点（横、纵坐标均为整数的点）到直线 $y=\dfrac 53x+\dfrac 45$ 的距离的最小值为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt{34}}{170}$

B．$\dfrac{\sqrt{34}}{85}$

C．$\dfrac1{20}$

D．$\dfrac1{30}$

答案    B．

解析    题中直线即

$$l:25x-15y+12=0,$$ 于是点 $P(m,n)$（$m,n\in\mathbb Z$）到直线 $l$ 的距离 $$d(m,n)=\dfrac{|25m-15n+12|}{\sqrt{25^2+15^2}}=\dfrac{|5(5m-3n)+12|}{5\sqrt{34}}\geqslant \dfrac{2}{5\sqrt{34}}=\dfrac{\sqrt{34}}{85},$$ 等号当 $5m-3n=-2$ 时（如 $(m,n)=(2,4)$）取得，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt{34}}{85}$．

备注    根据裴蜀定理，$5m-3n$（$m,n\in\mathbb Z$）可以表示所有整数．