每日一题[1358]空间曲线

如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 为边 $AD$ 上的动点，将 $\triangle ABE$ 沿直线 $BE$ 翻转成 $\triangle A_1BE$，使平面 $A_1BE\perp ABCD$，则点 $A_1$ 的轨迹是(       )

A．线段

B．圆弧

C．抛物线的一部分

D．以上答案都不对

答案    D．

解析    建立空间直角坐标系 $A-BDz$，设 $\angle EBA=\theta$，$AB=a$，则 $A_1(x,y,z)$ 满足

$$\begin{cases} x=a\sin^2\theta,\\ y=a\sin\theta\cos\theta,\\ z=a\sin\theta,\end{cases}$$ 接下来证明若 $0<\alpha<\beta<\gamma<\dfrac{\pi}2$，则当 $\theta$ 分别取 $0,\alpha,\beta,\gamma$ 时对应的点 $O,P,Q,R$ 不共面，进而可得点 $A_1$ 的轨迹不是平面曲线．用反证法，若不然，则存在实数 $\lambda,\mu$ 使得 $$\overrightarrow{OR}=\lambda\overrightarrow{OP}+\mu\overrightarrow{OQ},$$ 也即 $$\begin{split} \lambda\sin\alpha+\mu\sin\beta&=\sin\gamma,\\ \lambda\sin^2\alpha+\mu\sin^2\beta&=\sin^2\gamma,\\ \lambda\sin\alpha\cos\alpha+\mu\sin\beta\cos\beta&=\sin\gamma\cos\gamma,\end{split}$$ 记 $$s=\dfrac{\lambda\sin\alpha}{\sin\gamma},t=\dfrac{\mu\sin\beta}{\sin\gamma},$$ 则 $$\begin{split} s+t&=1,\\ s\sin\alpha+t\sin\beta&=\sin\gamma,\\ s\cos\alpha+t\cos\beta&=\cos\gamma,\end{split}$$ 设平面坐标系 $xO'y$ 上 $P_1(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$P_2(\cos\beta,\sin\beta)$，$P_3(\cos\gamma,\sin\gamma)$，则 $P_1,P_2,P_3$ 是单位圆上的三点，满足 $$s\overrightarrow{O'P_1}+(1-s)\overrightarrow{O'P_2}=\overrightarrow{O'P_3},$$ 根据三点共线的向量表达，有 $P_1,P_2,P_3$ 三点共线，与三点共圆矛盾． 因此点 $A_1$ 的轨迹不是平面曲线．