每日一题[1333]回归定义

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交双曲线于 $A,B$ 两点，点 $C$ 是点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点，若 $CF\perp AB$ 且 $2|AF|=|FB|$，则双曲线的离心率为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt{17}}3$．

解析    设左焦点为 $F'$，$AF=x$，则直角 $\triangle F'AB$ 的三边都可以用 $a,x$ 表示，分别为

$$AF'=2a+x,AB=3x,F'B=2a+2x,$$ 于是有 $$(2a+x)^2+(3x)^2=(2a+2x)^2,$$ 解得 $x=\dfrac 2a$．进而可得 $$e=\dfrac{\sqrt{AF^2+AF'^2}}{2a}=\dfrac{\sqrt{17}}3.$$