数列 {xn},{yn} 的定义如下：x1=1，y1=39，且{xn+1=23xn+yn+2,yn+1=551xn+24yn+64,
求证：对一切正整数 n，xn 是完全平方数．
解析 根据题意，有yn=xn+1−23xn−2,
于是xn+2−23xn+1−2=551xn+24(xn+1−23xn−2)+64,
整理得xn+2=47xn+1−xn+18,
差分可得xn+3=48xn+2−48xn+1+xn,
对应的特征根为x=1,47+21√52,47−21√52,
记 α=47+21√52，设xn=A+B⋅αn−2+C⋅1αn−2,
则{A+B⋅1α+C⋅α=1,A+B+C=64,A+B⋅α+C⋅1α=3025,
于是{A+B+C=64,2A+47(B+C)=3026,21√5(B−C)=3024,
解得{A=−25,B=161+72√55,C=161−72√55,
注意到47+21√52=(3+√52)4,161+72√5=(3+√52)6,
于是xn=β4n−2+1β4n−2−25=(β2n−1−1β2n−1√5)2,
其中 β=3+√52．根据二项式定理，括号内的数是正整数，因此命题得证．