每日一题[1269]参数方程

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，右准线为 $l$，$P$ 为椭圆上不在坐标轴上的点，过 $F$ 作 $PF$ 的垂线交 $l$ 于 $Q$，$O$ 为坐标原点．

1、求证：直线 $OP$ 和直线 $PQ$ 的斜率之积为定值；

2、若存在点 $P$，使得 $O,F,P,Q$ 四点共圆，求椭圆 $E$ 的离心率的取值范围．

解析

1、设 $F(c,0)$，$P(a\cos\theta,b\sin\theta)$，$Q\left(\dfrac{a^2}c,t\right)$，则由 $PF\perp FQ$ 可得

$$\left(a\cos\theta-c,b\sin\theta\right)\cdot \left(\dfrac{a^2}c-c,t\right)=0,$$ 整理可得 $$t=\dfrac{bc-ab\cos\theta}{c\sin\theta}.$$ 因此直线 $OP$ 与直线 $PQ$ 的斜率之积为 $$\dfrac{b\sin\theta}{a\cos\theta}\cdot \dfrac{t-b\sin\theta}{\dfrac{a^2}c-a\cos\theta}=-\dfrac{b^2}{a^2}.$$

2、由于 $FP\perp FQ$，于是 $O,F,P,Q$ 等价于 $OP\perp OQ$，从而

$$(a\cos\theta,b\sin\theta)\cdot \left(\dfrac{a^2}{c},\dfrac{bc-ab\cos\theta}{c\sin\theta}\right)=0,$$ 整理得 $$\cos\theta=-\dfrac{b^2}{ac},$$ 由 $$-1<-\dfrac{b^2}{ac}<1$$ 解得 $$\dfrac{\sqrt 5-1}2<e<1,$$ 于是椭圆 $E$ 的离心率的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2,1\right)$．