每日一题[1231]三次函数

已知直线 $l:kx-y-k+1=0$，$f(x)=\begin{cases} x^3-3x^2+2x+1,&x\leqslant 2,\\ ax-2a+1,&x>2.\end{cases}$ 直线 $l$ 与 $f(x)$ 的图象的三个交点的横坐标分别为 $x_1,x_2,x_3$．若对于任意的 $0<k<3$，总有 $x_1+x_2+x_3<3$，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $[6,+\infty)$．

解析    不妨设 $x_1<x_2<x_3$，如图．

设直线 $l$ 与三次曲线 $$y=x^3-3x^2+2x+1$$ 的三个交点横坐标分别为 $$x_1,x_2,x_4,$$ 则 $$x_1+x_2+x_3<x_1+x_2+x_4,$$ 于是 $$x_3<x_4.$$ 而 $$\{x_4\mid k\in (0,3)\}=\{x_4\mid 2<x_4<3\},$$ 设 $$\varphi(x)=\dfrac{(x^3-3x^2+2x+1)-1}{x-2},2<x<3,$$ 即 $$\varphi(x)=x(x-1),2<x<3,$$ 该函数在 $(2,3)$ 上单调递增，因此实数 $a$ 的取值范围是 $[6,+\infty)$．