每日一题[1215]端点分析

已知函数 $f(x)=\sin x+\tan x-2x$．

1、求证：函数 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增；

2、若 $\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),f(x)>mx^2$，求实数 $m$ 的取值范围．

解    1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2,$$ 而在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上，有 $$0<\cos x\leqslant 1,$$ 于是 $$\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2\geqslant\cos x+\dfrac{1}{\cos x}-2\geqslant 0,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增．

2、对函数 $$\varphi(x)=\sin x+\tan x-2x-mx^2$$ 进行端点分析． $$\begin{array} {c|cc}\hline x&0&\dfrac{\pi}2\\ \hline \varphi(x)=\sin x+\tan x-2x-mx^2& 0&+\infty\\ \hline \varphi'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2-2mx& 0&\\ \hline \varphi''(x)=-\sin x+\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}-2m& -2m&\\ \hline\end{array}$$ 可得讨论分界点为 $m=0$． [[case]]情形一[[/case]] $m\leqslant 0$．此时根据第 $(1)$ 小题的结果，$f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增，于是 $$f(x)>f(0)=0>mx^2,$$ 符合题意． [[case]]情形二[[/case]] $m>0$．当 $0<x<\dfrac{\pi}3$ 时，有 $$\begin{split} \varphi ''(x)&=-\sin x+\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}-2m\\ &<-\sin x +\dfrac{2\sin x}{\cos^3\dfrac{\pi}3}-2m\\ &=15\sin x-2m\\ &<15x-2m,\end{split}$$ 于是在区间 $D=\left(0,\min\left\{\dfrac{2m}{15},\dfrac{\pi}3\right\}\right)$ 上，有 $$\varphi''(x)<0,$$ 进而在区间 $D$ 上，$\varphi'(x)$ 单调递减，结合 $\varphi'(x)=0$ 可得在区间 $D$ 上，$\varphi(x)$ 单调递减，因此在区间 $D$ 上，有 $$\varphi(x)<\varphi(0)=0,$$ 不符合题意． 综上所述，实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,0\right]$．