每日一题[1215]端点分析

已知函数 $f(x)=\sin x+\tan x-2x$.

1、求证:函数 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增;

2、若 $\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),f(x)>mx^2$,求实数 $m$ 的取值范围.

    1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2,\]而在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上,有\[0<\cos x\leqslant 1,\]于是\[\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2\geqslant\cos x+\dfrac{1}{\cos x}-2\geqslant 0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增.

2、对函数\[\varphi(x)=\sin x+\tan x-2x-mx^2\]进行端点分析. \[\begin{array} {c|cc}\hline x&0&\dfrac{\pi}2\\ \hline \varphi(x)=\sin x+\tan x-2x-mx^2& 0&+\infty\\ \hline \varphi'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2-2mx& 0&\\ \hline \varphi''(x)=-\sin x+\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}-2m& -2m&\\ \hline\end{array}\]可得讨论分界点为 $m=0$. [[case]]情形一[[/case]] $m\leqslant 0$.此时根据第 $(1)$ 小题的结果,$f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增,于是\[f(x)>f(0)=0>mx^2,\]符合题意. [[case]]情形二[[/case]] $m>0$.当 $0<x<\dfrac{\pi}3$ 时,有\[\begin{split} \varphi ''(x)&=-\sin x+\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}-2m\\ &<-\sin x +\dfrac{2\sin x}{\cos^3\dfrac{\pi}3}-2m\\ &=15\sin x-2m\\ &<15x-2m,\end{split}\]于是在区间 $D=\left(0,\min\left\{\dfrac{2m}{15},\dfrac{\pi}3\right\}\right)$ 上,有\[\varphi''(x)<0,\]进而在区间 $D$ 上,$\varphi'(x)$ 单调递减,结合 $\varphi'(x)=0$ 可得在区间 $D$ 上,$\varphi(x)$ 单调递减,因此在区间 $D$ 上,有\[\varphi(x)<\varphi(0)=0,\]不符合题意. 综上所述,实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,0\right]$.

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