每日一题[1216]变换化简

设 $M(x_0,y_0)$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)内部一点且 $M$ 位于第一象限,过点 $M$ 作直线交双曲线的右支于点 $A,B$,记 $O$ 为坐标原点,若 $\triangle AOB$ 的面积最小值为 $\sqrt{b^2x_0^2-a^2y_0^2}$,则 $\dfrac{3x_0}a-\dfrac{y_0}b$ 的最小值为_______.

    $4$.

由于伸缩变换和旋转变换并不影响问题的本质,因此问题可以改写为

新问题    设 $M(n,m)$($m>n>0$)为双曲线 $E:y=\dfrac 1x$ 上方的点,过 $M$ 作直线与双曲线 $E$ 交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点,此时\[a=b=\sqrt 2,\]且 $x_0,y_0$ 分别为点 $M$ 到直线 $x+y=0$ 和 $x-y=0$ 的距离,因此\[x_0=\dfrac{m+n}{\sqrt 2},y_0=\dfrac{m-n}{\sqrt 2},\]从而 $\triangle AOB$ 的面积最小值为 $\sqrt{4mn}$,所求代数式为 $m+2n$.

新问题的解    设 $AB:y=-k(x-n)+m$,其中 $k>0$,与双曲线方程联立,可得\[kx^2-(m+nk)x+1=0,\]记 $\lambda=\dfrac{x_1}{x_2}$,则根据三角形面积坐标公式可得 $\triangle AOB$ 的面积\[S=\dfrac 12\left|\dfrac{x_1}{x_2}-\dfrac{x_2}{x_1}\right|=\dfrac 12\left|\lambda-\dfrac{1}{\lambda}\right|,\]于是\[4S^2+4=\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)^2.\]根据韦达定理有\[(m+nk)^2=\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2\right)k,\]于是\[\lambda+\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{m^2}{k}+n^2k+2mn-2\geqslant 4mn-2,\]于是根据题意,有\[4\cdot \left(\sqrt {4mn}\right)^2+4=(4mn-2)^2,\]解得\[mn=2.\]因此\[m+2n\geqslant 2\sqrt{m\cdot 2n}=4,\]等号当 $(m,n)=(2,1)$ 时取得,因此所求的最小值为 $4$.

    当 $M$ 为弦 $AB$ 中点时,$\triangle AOB$ 的面积最小.

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每日一题[1216]变换化简》有 1 条评论

  1. LycheeM LycheeM说:

    Mark一下。
    伸缩容易想到,旋转不易想到。
    旋转后双曲线消去了平方项,与直线联立后没有斜率的平方,简化了后续的计算。
    圆和椭圆无法消去平方项。

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