每日一题[1214]无巧不成书

已知函数 $f(x)=x-\ln(x+2)+{\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x}$,若存在实数 $x_0$,使 $f(x_0)=3$ 成立,则实数 $a$ 的值为(       )

A.$\ln 2$

B.$\ln 2-1$

C.$-\ln 2$

D.$-\ln 2-1$

解    D.

设\[\begin{split} g(x)&=x-\ln(x+2),\\ h(x)&={\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x},\end{split}\]则 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=1-\dfrac{1}{x+2},\]于是当 $x=-1$ 时,函数 $g(x)$ 取得极小值,亦为最小值为\[g(-1)=-1.\]又根据均值不等式,有\[{\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x}\geqslant 4,\]等号当且仅当 ${\rm e}^{x-a}=2$ 也即 $x=\ln 2+a$ 时取得.因此\[f(x)=g(x)+h(x)\geqslant 3,\]等号当且仅当\[x=-1=\ln 2+a\]时取得.从而根据题意,有\[a=-\ln 2-1.\]

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