每日一题[1119]对数平均不等式

设函数 $f(x)=4\ln x-\dfrac 12ax^2+(4-a)x$，其中 $a\in\mathbb R$．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若函数 $f(x)$ 存在极值，对于任意的 $0<x_1<x_2$，存在正实数 $x_0$，使得 $$f(x_1)-f(x_2)=f'(x_0)\cdot (x_1-x_2),$$ 试判断 $x_1+x_2$ 与 $2x_0$ 的大小关系并给出证明．

分析与解　（1）函数 $f(x)$ 的导函数 $$\begin{split}f'(x)=&\dfrac 4x-ax+(4-a)\\=&\dfrac{(-ax+4)(x+1)}x,\end{split}$$ 于是按照 $a$ 与 $0$ 的大小关系讨论．

情形一　$a\leqslant 0$．此时 $f'(x)>0$，于是 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递增；

情形二　$a>0$．此时 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 4a\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac 4a,+\infty\right)$ 上单调递减．

（2）函数 $f(x)$ 存在极值，因此 $a>0$．根据题意，有 $$\begin{split}f'(x_0)=&\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\\=&4\cdot \dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}-\dfrac 12a(x_1+x_2)+(4-a),\end{split}$$ 而 $$f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)=\dfrac{8}{x_1+x_2}-a\cdot \dfrac{x_1+x_2}2+(4-a).$$ 根据对数平均不等式，我们有 $$\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}> \dfrac{2}{x_1+x_2},$$ 于是 $$f'(x_0)>f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right),$$ 又 $f'(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递减，因此 $$x_0<\dfrac{x_1+x_2}2,$$ 进而 $x_1+x_2>2x_0$．

注　由于 $f'(x)$ 是下凸函数（即 $f'''(x)>0$），因此函数 $f(x)$ 的切线斜率变化越来越慢，于是与割线斜率相等的切线的切点位置会偏向起点，也即 $x_1+x_2>2x_0$．